Чтобы найти корни многочлена \(\displaystyle x^3+32x\small,\) нужно решить уравнение

\(\displaystyle x^3+32x=0\small.\) 

Решим уравнение

\(\displaystyle x^3+32x=0\small.\) 

Вынесем общий множитель \(\displaystyle x\) в левой части уравнения:

\(\displaystyle x^3+32x=x(x^2+32)\small.\)

Получим

\(\displaystyle x(x^2+32)=0{\small .}\)

Следовательно,

\(\displaystyle x=0\) или \(\displaystyle x^2+32=0{\small .}\)

Решим уравнение \(\displaystyle x^2+32=0{\small . } \)

Покажем, что полученное уравнение не имеет корней.

Если \(\displaystyle x\) положительно, то число \(\displaystyle x^2\small\) положительно и \(\displaystyle x^2+32\small\) положительно. Значит, положительное \(\displaystyle x\) не может быть корнем.

Если \(\displaystyle x\) отрицательно, то число \(\displaystyle x^2\small\) положительно и \(\displaystyle x^2+32\small\) положительно. Значит, отрицательное \(\displaystyle x\) не может быть корнем.

Если \(\displaystyle x=0\small,\) то \(\displaystyle x^2+32=0^2+32=32\small\) положительно. Значит, число \(\displaystyle 0\) не может быть корнем.

Таким образом, никакое число не является корнем уравнения \(\displaystyle x^2+32=0\small.\)

Итак, многочлен \(\displaystyle x^3+32x\small\) обращается в ноль при \(\displaystyle x=0 {\small . } \)

Значит, корнем многочлена \(\displaystyle x^3+32x\small\) является число \(\displaystyle 0 {\small . } \)

Ответ: \(\displaystyle 0 {\small . } \)