Чтобы найти корни многочлена \(\displaystyle x^4+31x^2\small,\) нужно решить уравнение

\(\displaystyle x^4+31x^2=0\small.\) 

Решим уравнение

\(\displaystyle x^4+31x^2=0\small.\) 

Вынесем общий множитель \(\displaystyle x^2\) в левой части уравнения:

\(\displaystyle x^4+31x^2=x^2(x^2+31)\small.\)

Получим

\(\displaystyle x^2(x^2+31)=0{\small .}\)

Следовательно,

\(\displaystyle x^2=0\) или \(\displaystyle x^2+31=0{\small .}\)

Решим каждое из полученных уравнений.

1. Уравнение \(\displaystyle x^2=0{\small . } \)

\(\displaystyle x^2=0{\small ; } \)

\(\displaystyle x\cdot x=0{\small . } \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит,

\(\displaystyle x=0{\small . } \)

2. Решим уравнение \(\displaystyle x^2+31=0{\small . } \)

Покажем, что полученное уравнение не имеет корней.

Если \(\displaystyle x\) положительно, то число \(\displaystyle x^2\small\) положительно и \(\displaystyle x^2+31\small\) положительно. Значит, положительное \(\displaystyle x\) не может быть корнем.

Если \(\displaystyle x\) отрицательно, то число \(\displaystyle x^2\small\) положительно и \(\displaystyle x^2+31\small\) положительно. Значит, отрицательное \(\displaystyle x\) не может быть корнем.

Если \(\displaystyle x=0\small,\) то \(\displaystyle x^2+31=0^2+31=31\small\) положительно. Значит, число \(\displaystyle 0\) не может быть корнем.

Таким образом, никакое число не является корнем уравнения \(\displaystyle x^2+31=0\small.\)

Итак, многочлен \(\displaystyle x^4+31x^2\small\) обращается в ноль при \(\displaystyle x=0 {\small . } \)

Значит, корнем многочлена \(\displaystyle x^4+31x^2\small\) является число \(\displaystyle 0 {\small . } \)

Ответ: \(\displaystyle 0 {\small . } \)