Требуется решить неравенство \(\displaystyle \left|-\frac{x}{9}\right|\ge 4{\small.}\)

Используем правило

при \(\displaystyle a=4{\small,}\) \(\displaystyle f(x)=-\frac{x}{9}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle a=4>0{\small,}\) множество решений неравенства \(\displaystyle \left|-\frac{x}{9}\right|\ge 4\) является объединением множества решений неравенства \(\displaystyle {-\frac{x}{9}\le - 4}\) и множества решений неравенства \(\displaystyle {-\frac{x}{9}\ge 4}\small.\)

Решим полученные линейные неравенства.

Решим неравенство \(\displaystyle {-\frac{x}{9}\le -4}\small.\)

Умножим обе части неравенства на \(\displaystyle \color{red}{(-9)}<0{\small ,}\) изменив знаки неравенств на противоположные:  

\(\displaystyle \color{blue}{ -\frac{x}{9}}\le \color{green}{ -4}{\small ;}\)

\(\displaystyle \color{blue}{ -\frac{x}{9}}\cdot \color{red}{ (-9)}\ge \color{green}{ -4}\cdot \color{red}{ (-9)}{\small ;}\)

\(\displaystyle x\ge 36{\small, } \) 

или \(\displaystyle x\in [36;+\infty ){\small .}\)

Решим неравенство \(\displaystyle {-\frac{x}{9}\ge 4}\small.\)

Умножим обе части неравенства на \(\displaystyle \color{red}{(-9)}<0{\small ,}\) изменив знаки неравенств на противоположные:

\(\displaystyle \color{blue}{ -\frac{x}{9}}\ge \color{green}{ 4}{\small ;}\)

\(\displaystyle \color{blue}{ -\frac{x}{9}}\cdot \color{red}{ (-9)}\le \color{green}{ 4}\cdot \color{red}{ (-9)}{\small ;}\)

\(\displaystyle x\le -36{\small, } \) 

или \(\displaystyle x\in (-\infty ;-36]{\small .}\)

Тогда множество решений неравенства \(\displaystyle \left|-\frac{x}{9}\right|\ge 4{\small :}\) 

\(\displaystyle x\in (-\infty ;-36]\cup [36;+\infty ){\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty ;-36]\cup [36;+\infty ){\small .}\)