Решите неравенство:
\(\displaystyle |x-7|>9{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Требуется решить неравенство \(\displaystyle |x-7|>9{\small.}\)
Неравенства с модулем
Если \(\displaystyle a> 0\) положительное число, то множество решений неравенства
\(\displaystyle {\left|f(x)\right|> a}\)
является объединением множества решений неравенства \(\displaystyle {f(x)<- a}\) и
множества решений неравенства \(\displaystyle {f(x)>a}\small.\)
при \(\displaystyle a=9{\small,}\) \(\displaystyle f(x)=x-7{\small.}\)
Так как \(\displaystyle a=9>0{\small,}\) множество решений неравенства \(\displaystyle |x-7|>9\) является объединением множества решений неравенства \(\displaystyle {x-7<- 9}\) и множества решений неравенства \(\displaystyle {x-7>9}\small.\)
Решим полученные линейные неравенства.
Решим неравенство \(\displaystyle {x-7< -9}\small.\)
Прибавим к обеим частям неравенства \(\displaystyle \color{red}{7}{\small :}\)
\(\displaystyle \color{blue}{ x-7}<\color{green}{ -9}{\small ;}\)
\(\displaystyle \color{blue}{ x-7}+ \color{red}{ 7}<\color{green}{ -9}+ \color{red}{ 7}{\small ;}\)
\(\displaystyle x<-2{\small, } \)
или \(\displaystyle x\in (-\infty ;-2){\small .}\)
Решим неравенство \(\displaystyle {x-7> 9}\small.\)
Прибавим к обеим частям неравенства \(\displaystyle \color{red}{7}{\small :}\)
\(\displaystyle \color{blue}{ x-7}>\color{green}{ 9}{\small ;}\)
\(\displaystyle \color{blue}{ x-7}+ \color{red}{ 7}>\color{green}{ 9}+ \color{red}{ 7}{\small ;}\)
\(\displaystyle x>16{\small, } \)
или \(\displaystyle x\in (16;+\infty ){\small .}\)
Тогда множество решений неравенства \(\displaystyle |x-7|>9{\small :}\)
\(\displaystyle x\in (-\infty ;-2)\cup (16;+\infty ){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty ;-2)\cup (16;+\infty ){\small .}\)